ご返事ありがとうございます。

すでにあるブログ以外でも、新しいブログでプラグインを新規インストールしてみても、同様な現象が発生してしまいました。
具体的には、
1，Add Flickrボタンをクリック
2，画像選択、
右メニューは上からファイルURL、無し、無し、midium(640×426）、チェックなし
3，そして、Wordpress上で画像の詳細を開き、リンク先を確認すると
このようになっていまいた。
http://www.flickr.com/photos/null/25234650587
本来であれば、nullではなく、UserIDが挿入されるかと思います。
手動でUserIDに置き換えた所、問題なく写真のページに飛ぶことが出来ました。

このままでも、Wordpress上にはサムネイルとして画像が表示されておりますが、クリックして拡大した写真を見れるようにしたいので、出来れば前と同じ状態で使いたいです＞＜

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また、Flickrのアイコン・ボタンから同じ画像を挿入した場合は、画像の直接URLが表示されていました。
https://farm5.staticflickr.com/4705/25234650587_b64bfef37c_o.jpg

実際の私のブログのテストページURLを貼らせていただきますので、ご確認頂ければ幸いです。
https://geek-kazu-next.com/wp-flickr-press-test/

お時間があるときで構いませんので、アドバイスよろしくお願いいたします。

コメントありがとうございます。

v2.5.3より前からアップデートされた場合、認証方式が変わっているので、OAuthトークンの再取得を管理画面から行ってみてください。
それでも検索エラーが出る場合、ブラウザのキャッシュ等を削除してみてください。

古いバージョンからアップデートして使おうと思ったのですが、こちらのブログで書かれている現象が発生して、以前と同じように使うことが出来ない状態です。
https://weblog.sh-rainbow.net/hatenablog-wordpress-vol1

今までは、小さなサムネイル(150x150px)でたくさんの画像を載せて、クリックして拡大して見れる様にしていたのですが、アップデート後はクリックすると、Flickrの404ページに飛んでしまうようになりました。
URL内のユーザーIDがnullに変わってしまう現象です。
※以前に貼り付けた画像は問題なく表示されていますが、アップデート後に貼り付けた画像は404ページに行ってしまいます。

お時間がございましたら、ご確認頂ければ幸いです＞＜

WordPress version: 4.9.2
wp-flickr-press version: 2.6.1
PHP version: 7.0.18
├ safe_mode: OFF
└ curl: ENABLED

ありがとうございます。お騒がせしました。どうもキャッシュが悪さをしているようでした！

また、ずっと旧UIを使っていたので気付かなかったんですがLink URL Type「Link To」を「無し」にしてもタグが挿入されてしまいます。

flicker上では友人まで公開にしているので、404がでてしまうので出来ればタグが出ないようにしたいです！
よろしくお願いします。

報告ありがとうございます。

キャッシュ等を消して再度試していただけますか？
また、それでも同様のエラーが出る場合、下記のやり方でGoogle Chromeのコンソールログに何かエラーが表示されているか見ていただけますか。

https://developers.google.com/web/tools/chrome-devtools/console/?hl=ja

報告です。

新UIのほうですと、このような表記がでて使えない状態になりました。

「SEARCH ERROR. Please retry.」

旧UIでは問題なく画像挿入できます。

以下デバッグ情報です。
WordPress version: 4.9.2
wp-flickr-press version: 2.6.1
PHP version: 7.2.0
├ safe_mode: OFF
└ curl: ENABLED

ご確認ありがとうございます。

私の方でもfirefoxで試してみましたが正常に動作しました。
もしかしたらキャッシュが残っていて正常に動作していないのかもしれません。

firefoxでのキャッシュの削除は下記のページから参照できます。
https://support.mozilla.org/ja/kb/how-clear-firefox-cache

以上、よろしくお願い致します。

迅速な対応ありがとうございました。検索がエラーになったのは、新しいUIです。

先程報告させていただいたエラーが発生したブラウザは、FIrefoxでしたが、Chromeで試してみたところ、問題なくプラグインが動作しました。投稿記事内への写真挿入も問題ありませんでした。

しかし、いただいた情報でChromeのコンソールを確認してみたところ、以下のエラーメッセージが赤文字で出力されていました。

(index):7 WebSocket connection to ‘wss://public-api.wordpress.com/pinghub/wpcom/me/newest-note-data’ failed: Error during WebSocket handshake: Unexpected response code: 403
T @ (index):7

上記エラーは、Wordpressの新規投稿時にFlickrPressプラグインを新UIで起動させた際に、Ctrl + Shift + Jでコンソールを表示させた際に2か所同じメッセージで出力されていました。

Firefoxでは現時点でもエラーで検索できない状態です。

取り急ぎ以上になります。

コメントありがとうございます。

検索がエラーになったのは新UIでしょうか？
もし可能なら、Chromeで試していただき、コンソールログに何かエラーログが出ていないか見てもらえないでしょうか。

コンソールログの見方は下記から参照出来ます。
https://developers.google.com/web/tools/chrome-devtools/console/?hl=ja

以上、よろしくお願い致します。